定积分的定义和性质

期中考后，微积分课开始讲积分。出于好奇，我阅读了 Pete Clark 所著 Honors Calculus（这个 PDF 版本有许多笔误，似为草稿）的第八章第 1、2、4 节。为了理解部分内容，我还阅读了第六章第 4 节对实数归纳法的正确性的证明。以下为我的笔记，第 1、2、3 节分别对应原书第八章第 1、2、4 节。也可以作为该书这一部分的浓缩版。

第 1 节 微积分基本定理

我们希望 上全体可积函数（可求定积分的函数）组成的集合 满足以下性质：
(I0)
a) 上的所有连续函数属于 。
b) 上的函数都有界。

我们希望我们定义的定积分满足以下性质：
(I1) 常函数 ，且 。
(I2) 若 ，且 ，则 。
(I3) 若 ，则 当且仅当 且 。若这对等价条件成立，则。

现在，我们假设 (I0)、(I1)、(I2)、(I3) 均成立。

定理 1（微积分基本定理） 设 为 上的可积函数，，则：
a) 在 上连续。
b) 若 在 处连续，则 。
c) 若 连续，且 是 的一个反导数，则 。
证 由 (I0)，存在 使得 。若 ，则 ，于是由 (I1) 知 ，此时定理显然成立。
因此，下面假设 。
a) 任给 ，取 。由 (I3) 得

$$F_0(x)-F_0(c)=\int_a^xf-\int_a^cf=\int_c^xf\cdots\cdots\cdots(1)$$

再设 ，则对 仍有 ，因此依次应用 (I2) 和 (I1) 可得

$$-M(B-A)\le\int_A^Bf\le M(B-A)$$

于是

$$\left|\int_A^Bf\right|\le M(B-A)\cdots\cdots\cdots(2)$$

现在假设 。应用 ，再对 应用 ，知

$$|F_0(x)-F_0(c)|\le M|x-c|<M\cdot\frac{\epsilon}M=\epsilon$$

b) 由于 $f$ 在 $c$ 处连续，任给 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得 $|x-c|<\delta\implies$ $f(c)-\epsilon<f(x)<f(c)+\epsilon$。故

$$f(c)-\epsilon=\frac{\int_c^x(f(c)-\epsilon)}{x-c}\le\frac{\int_c^xf}{x-c}\le\frac{\int_c^x(f(c)+\epsilon)}{x-c}=f(c)+\epsilon$$

于是

$$\left|\frac{F_0(x)-F_0(c)}{x-c}-f(c)\right|=\left|\frac{\int_c^xf}{x-c}-f(c)\right|\le\epsilon$$

这表明 。
c) 已知 连续，由 b) 部分知 是 的一个反导数。因此 ，故

$$F(b)-F(a)=(F_0(b)+C)-(F_0(a)+C)=F_0(b)-F_0(a)=\int_a^bf\,\,\,\square$$

注 定理 1 表明，在我们的假设下，若定积分存在，则它是唯一的，即 的在 处取值为 的反导数。

第 2 节 构建定积分

下面，我们将逐步构建满足假设的定积分定义。但为了叙述方便，我们暂时只讨论在包含于定义域 的任意闭区间上都有最大值和最小值的函数 。

我们先给出划分的定义：若实数 满足

$$a=a_0<a_1<a_2<\dots<a_n=b$$则称 $\mathcal P=\{a_0,\,a_1,\,\dots,\,a_n\}$ 为区间 $[a,b]$ 的一个**划分**。 接下来，我们定义**下和**与**上和**。 设 $\mathcal P=\{x_0,\,x_1,\,\dots,\,x_n\}$ 为 $[a,b]$（$f$ 的定义域）的一个划分。定义关于 $f$ 与 $\mathcal P$ 的**下和** $$L(f,\mathcal P)=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\left(\min_{x\in[x_i,x_{i+1}]}f(x)\right)(x_{i+1}-x_i)\right)$$关于 $f$ 与 $\mathcal P$ 的**上和** $$U(f,\mathcal P)=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\left(\max_{x\in[x_i,x_{i+1}]}f(x)\right)(x_{i+1}-x_i)\right)$$

我们将可积定义为：存在唯一的 ，使得对 的每一个划分 ，都有$L(f,\mathcal P)\le I\le U(f,\mathcal P)$
这一定义没有很好地形式化，它对最重要的部分—— 的唯一性——轻描淡写，同时使证明 的存在性十分困难。

例 1 显然函数 可积。

例 2 设函数 在 上除内部一点 处之外都等于 ，而 。证明： 在 上可积。
证 首先注意到，对 的任意划分 ，都有 。另一方面，设划分中 所在区间的长度为 ，则 可以任意小，且该区间的下和为 ，而其他区间的下和仍为 ，因此 。（对于 刚好是划分点的情形，可以类似地得到 ，其中 分别为 左侧和右侧的划分区间的长度，此时 也可以任意小。）至此，我们证明了唯一一个不小于所有 又不大于所有 的实数是 ，故 可积。

例 3 设 上的函数 在无理点取值为 ，在有理点取值为 。证明： 不可积。

证 由于每一个子区间都既包含有理点，又包含无理点，对 的任意划分 ，都有 。因此 与 的差距无法任意小， 不可积。
注 此例可能提示了解决 的存在性和唯一性问题的一种方法，至少对 19 世纪的数学家达布(Jean-Gaston Darboux)而言是这样的，他想到了一种优美的方法，可以判断下和与上和之间是否有不可弥合的鸿沟。

接下来，我们将给出达布积分的定义。

设 为 上的任意函数， 为 的一个划分。定义关于 与 的下和

$$L(f,\mathcal P)=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\left(\inf_{x\in[x_i,x_{i+1}]}f(x)\right)(x_{i+1}-x_i)\right)$$关于 $f$ 与 $\mathcal P$ 的**上和** $$U(f,\mathcal P)=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\left(\sup_{x\in[x_i,x_{i+1}]}f(x)\right)(x_{i+1}-x_i)\right)$$式子中存在下确界为 $-∞$ 或存在上确界为 $+∞$ 时，相应地，称下和为 $-∞$ 或上和为 $+∞$。 显然，$L(f,\mathcal P)\le U(f,\mathcal P)$。 **命题 2** 设 $f$ 为 $[a,b]$ 上的函数。 a) 下列命题等价： (i) 对 $[a,b]$ 上的任意划分 $\mathcal P$，$L(f,\mathcal P)=-∞$。 (ii) 存在 $[a,b]$ 上的划分 $\mathcal P$，使得 $L(f,\mathcal P)=-∞$。 (iii) $f$ 在 $[a,b]$ 上无下界。 b) 下列命题等价： (i) 对 $[a,b]$ 上的任意划分 $\mathcal P$，$U(f,\mathcal P)=+∞$。 (ii) 存在 $[a,b]$ 上的划分 $\mathcal P$，使得 $U(f,\mathcal P)=+∞$。 (iii) $f$ 在 $[a,b]$ 上无上界。 c) 下列命题等价： (i) 对 $[a,b]$ 上的任意划分 $\mathcal P$，$L(f,\mathcal P)>-∞,\,U(f,\mathcal P)<+∞$。 (ii) $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。 **证** a) (i)$\implies$(ii) 显然。 (ii)$\implies$(iii)： 反证法。假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有下界，则对 $[a,b]$ 上的任意划分 $\mathcal P$，$L(f,\mathcal P)$ 的定义中的所有下确界都不是 $-∞$，因此 $L(f,\mathcal P)>-∞$，与 (ii) 矛盾。得证。 (iii)$\implies$(i)： 对 $[a,b]$ 上的任意划分 $\mathcal P$，由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上无下界，$L(f,\mathcal P)$ 的定义中的所有下确界不可能都不是 $-∞$（否则所有下确界的最小值即为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个下界），因此 $L(f,\mathcal P)=-∞$。 b) 与 a) 同理。 c) 由 a) 中的 (ii)、(iii) 等价，b) 中的 (ii)、(iii) 等价，知 c) 中的 (i)、(ii) 等价。$\,\,\,\square$ 若 $\mathcal P_1,\,\mathcal P_2$ 为 $[a,b]$ 的两个划分，且 $\mathcal P_2$ 包含 $\mathcal P_1$ 中的每一个点，则称 $\mathcal P_2$ 是 $\mathcal P_1$ 的**超划分**。 **引理 3（超划分引理）** 若 $f$ 是 $[a,b]$ 上的函数，$\mathcal P_1,\,\mathcal P_2$ 为 $[a,b]$ 的两个划分，且 $\mathcal P_2$ 为 $\mathcal P_1$ 的超划分，则$$L(f,P_2)\ge L(f,P_1),\,U(f,P_2) \le U(f,P_1)$$**证** 每往 $\mathcal P_1$ 的一个划分区间 $[c,d]$ 中插入划分点 $p$，记 $f$ 在 $[c,d]$ 上的下确界和上确界分别为 $m,\,M$，在 $[c,p]$ 上的下确界和上确界分别为 $m_1,\,M_1$，在 $[p,d]$ 上的下确界和上确界分别为 $m_2,\,M_2$，则有$$m\le m_1,\,m\le m_2,\,M\ge M_1,\,M\ge M_2$$于是$$m(d-c)=m(p-c)+m(d-p)\le m_1(p-c)+m_2(d-p)$$且$$M(d-c)=M(p-c)+M(d-p)\ge M_1(p-c)+M_2(d-p)$$这里，下确界可以为 $-∞$，上确界可以为 $+∞$。 换言之，每增加一个划分点，下和都不会减小，上和都不会增加，因此最终得到的划分 $\mathcal P_2$ 满足$$L(f,P_2)\ge L(f,P_1),\,U(f,P_2) \le U(f,P_1)\,\,\,\square$$

引理 4 若 是 上的函数， 为 的两个划分，则 。
证 令 ，则由超划分引理知$L(f,\mathcal P)\ge L(f,\mathcal P_1),\,U(f,\mathcal P)\le U(f,\mathcal P_2)$而 ，故 。

对 上的函数 ，定义下积分 为 取遍 的所有划分时 的上确界（可以为 ），上积分 为 取遍 的所有划分时 的下确界（可以为 ）。最后，若 ，称 在 上是达布可积的，且达布积分 。

引理 5 若 为 上的函数，则$\underline{\int_a^b}f\le\overline{\int_a^b}f$
证 由引理 4，若 均为 的划分，则 。因此 在 取遍 的所有划分时的上确界小于或等于 在 取遍 的所有划分时的下确界，即$\underline{\int_a^b}f\le\overline{\int_a^b}f\,\,\,\square$

命题 6 设 为定义在 上的函数。
a) 当且仅当 无下界。
b) 当且仅当 无上界。
证
a) 由 无下界知 ，故 。
b) 与 a) 同理。

定理 7（达布可积性判定） 对 上的有界函数 ，下列命题等价：
(i) 在 上是达布可积的。
(ii) 任给 ，存在 的一个划分 ，使得 。
(iii) 存在唯一的实数 ，使得对 上的任意划分 都有 。
证
(i)(ii)：
任给 。由下积分的定义知存在 的一个划分 ，使得 。又由于 在 上是达布可积的，，故 。同理，存在 的一个划分 ，使得 。令 ，由超划分引理知 $L(f,\mathcal P)\ge L(f,\mathcal P_1)>\int_a^b f-\frac\epsilon2$$$$U(f,\mathcal P)\le U(f,\mathcal P_2)<\int_a^b f+\frac\epsilon2$故$U(f,\mathcal P)-L(f,\mathcal P)<\epsilon$
(ii)(i)：
已知对任意 ，存在 的一个划分 ，使得 ，而由上、下积分的定义知 ，故$\overline{\int_a^b}f-\underline{\int_a^b}f<\epsilon$由 的任意性知 。但由引理 5 知 ，故 ，因此 在 上是达布可积的。
(i)(iii)：
由于 在 上是达布可积的，。对 的任意划分 ，有$L(f,\mathcal P)\le\underline{\int_a^b}f=\int_a^b f=\overline{\int_a^b}f\le U(f,\mathcal P)$下面证明 只能取 。若 ，则 ，即 小于 取遍 的划分时 的上确界，故存在 的一个划分 ，使得 ，这样的 不符合条件。若 ，则 ，类似地可以证明这样的 不符合条件。因此， 只能取 ，是唯一的。
(iii)(i)：
反证法。假设 在 上不是达布可积的，则 。对 的任意划分 ，有$L(f,\mathcal P)\le\underline{\int_a^b}f<\overline{\int_a^b}f\le U(f,\mathcal P)$故任意 都满足对 的任意划分 有 ，且这样的 有无穷多个，与 (iii) 矛盾。得证。

接下来，我们证明达布积分满足假设 (I0)、(I1)、(I2)、(I3)。证明达布积分满足 (I0) 的 a) 部分需要用到实数归纳法。

定理 8（实数归纳法） 设 ，集合 。若： (RI1) 。 (RI2) 对任意 ，有： 。
(RI3) 对任意 ，有： 。
则 。
证 反证法。记 ，假设 。 有下界 ，故有下确界。显然 。
(I) 时：
由 (RI2) 知存在 ，使得 ，故 （其中 ），与 的定义矛盾。
(II) 时：
由 知 。又由 知 。由 (RI3)，有 ，与 矛盾。
综上，假设不成立，。

定理 9（积分主定理） 达布积分满足假设 (I0)、(I1)、(I2)、(I3)。
证
(I0) 时显然成立。下面假设 。 a) 设 为 上的任一连续函数。由达布可积性判定，只需证对任意 ，存在 的一个划分 ，使得 。
任给 。设 为满足存在 的一个划分 使得 的 的集合，则只需证 。用实数归纳法。
(RI1) 显然 。
(RI2) 假设 。由 知存在 的一个划分 ，使得 。由于 在 处连续，存在 ，使得 。任给 ，显然。令划分 ，则 $\displaystyle U(f,\mathcal P’)-L(f,\mathcal P’)=$(x+\delta-x)\left(\max_{t\in[x,x+\delta]}f(t)-\min_{t\in[x,x+\delta]}f(t)\right)<\delta\epsilon$。取 $\mathcal P_{x+\delta}=\mathcal P_x+\mathcal P'$，则$U(f,\mathcal P_{x+\delta})-L(f,\mathcal P_{x+\delta})\=(U(f,\mathcal P_x)+U(f,\mathcal P’))-(L(f,\mathcal P_x)+L(f,\mathcal P’))\=(U(f,\mathcal P_x)-L(f,\mathcal P_x))+(U(f,\mathcal P’)-L(f,\mathcal P’))\<(x-a)\epsilon+\delta\epsilon=(x+\delta-a)\epsilon$这等价于 $x+\delta\in S$。而 $\delta$ 是 $(0,\delta_0]$ 内的任意数，故 $(x,x+\delta_0]\subset S$。 (RI3) 假设 $[a,x)\subset S\,(x\in(a,b])$。将 (RI2) 证明中的 $[x,x+\delta]$ 用 $[x-\delta,x]$ 替换，可类似地证明 $x\in S$。 b) 由命题 6 知 $\mathcal R[a,b]$ 中的函数都有界。 (I1) 即为例 1。 (I2) 设函数 $f_1,\,f_2$ 在 $[a,b]$ 上都是达布可积的，且 $\forall x\in[a,b],\,f_1(x)\le f_2(x)$，则对 $[a,b]$ 的任意划分 $\mathcal P$，有 $L(f_1,\mathcal P)\le L(f_2,\mathcal P)$，故 $P$ 取遍 $[a,b]$ 的所有划分时 $L(f_1,\mathcal P)$ 的上确界小于或等于 $L(f_2,\mathcal P)$ 的上确界，即 $\underline{\int_a^b}f_1\le\underline{\int_a^b}f_2$。又由于$f_1,\,f_2$ 在 $[a,b]$ 上都是达布可积的，$\underline{\int_a^b}f_1=\int_a^b f_1,\,\underline{\int_a^b}f_2=\int_a^b f_2$，故$\int_a^b f_1\le\int_a^b f_2$(I3) 设 $a\le b \le c$。 假设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上是达布可积的，则对任意 $\epsilon>0$，存在 $[a,b]$ 的一个划分 $\mathcal P$，使得 $U(f,\mathcal P)-L(f,\mathcal P)<\epsilon$。令 $P'=P∪\{c\}$。由超划分引理知$L(f,\mathcal P’)\ge L(f,\mathcal P),\,U(f,\mathcal P’)\le U(f,\mathcal P)$故 $U(f,\mathcal P')-L(f,\mathcal P')\le U(f,\mathcal P)-L(f,\mathcal P)<\epsilon$。令 $P_1=P'∩[a,c],\,P_2=P'∩[c,b]$，则$(U(f,\mathcal P_1)-L(f,\mathcal P_1))+(U(f,\mathcal P_2)-L(f,\mathcal P_2))\=(U(f,\mathcal P_1)+U(f,\mathcal P_2))-(L(f,\mathcal P_1)+L(f,\mathcal P_2))\=U(f,\mathcal P’)-L(f,\mathcal P’)\<\epsilon$而 $U(f,\mathcal P_1)-L(f,\mathcal P_1)\ge0,\,U(f,\mathcal P_2)-L(f,\mathcal P_2)\ge0$，故 $U(f,\mathcal P_1)-L(f,\mathcal P_1)<\epsilon,\,U(f,\mathcal P_2)-L(f,\mathcal P_2)<\epsilon$，即 $f$ 在 $[a,c],\,[c,b]$ 上都是达布可积的。 反过来，假设函数 $f$ 在 $[a,c],\,[c,b]$ 上都是达布可积的。任给 $\epsilon>0$，则存在 $[a,c]$ 的一个划分 $\mathcal P_1$，使得$U(f,\mathcal P_1)-L(f,\mathcal P_1)<\frac\epsilon2$且存在 $[c,b]$ 的一个划分 $\mathcal P_2$，使得$U(f,\mathcal P_2)-L(f,\mathcal P_2)<\frac\epsilon2$令 $\mathcal P=\mathcal P_1+\mathcal P_2$，则 $\mathcal P$ 为 $[a,b]$ 的一个划分，且$U(f,\mathcal P)-L(f,\mathcal P)\=(U(f,\mathcal P_1)+U(f,\mathcal P_2))-(L(f,\mathcal P_1)+L(f,\mathcal P_2))\=(U(f,\mathcal P_1)-L(f,\mathcal P_1))+(U(f,\mathcal P_2)-L(f,\mathcal P_2))\<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon$故 $f$ 在 $[a,b]$ 上是达布可积的。 接下来求积分的值。任给 $\epsilon>0$。设 $\mathcal P$ 为 $[a,b]$ 的任一划分，$\mathcal P'=\mathcal P∪\{c\},\,P_1=P'∩[a,c],$P_2=P’∩[c,b]$，则$L(f,\mathcal P)\\\le L(f,\mathcal P')=L(f,\mathcal P_1)+L(f,\mathcal P_2)\\\le\int_a^c f+\int_c^b f\\\le U(f,\mathcal P_1)+U(f,\mathcal P_2)=U(f,\mathcal P')\\\le U(f,\mathcal P)$故对 的任一划分 ，都有 。而 在 上是达布可积的，故 在 上的积分值 。

第 3 节 黎曼和、细划分、黎曼积分

最后，我们给出黎曼(Riemann)积分的定义，并证明达布积分与黎曼积分等价。

设 为 的一个划分。在每一个 $[x_i,x_{i+1}]$(0\le i<n)$ 上选取数 $x_i^*$，则称 $\tau=\{x_0^*,\,x_1^*,\,\dots,\,x_{n-1}^*\}$ 为 $\mathcal P$ 的一组**标签**，二元组 $(\mathcal P,\tau)$ 为一个**带标签划分**。设 $f$ 为 $[a,b]$ 上的函数，$(\mathcal P,\tau)=(\{x_0,\,x_1,\,\dots,\,x_n\},\{x_0^*,\,x_1^*,\,\dots,\,x_{n-1}^*\})$ 为 $[a,b]$ 的一个带标签划分，定义**黎曼和**$R(f,\mathcal P,\tau)=\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i^*)(x_{i+1}-x_i)$结合 $L(f,\mathcal P)$ 和 $U(f,\mathcal P)$ 的定义，显然$L(f,\mathcal P)\le R(f,\mathcal P,\tau)\le U(f,\mathcal P)$$还可以进一步得出，若 为 上的有界函数， 为 的一个划分，则 取遍 的各组标签时 下确界为 ，上确界为 。此外，若 在 上无上界，则 ，且 取遍 的各组标签时 的上确界也为 ；若 在 上无下界，则 ，且 取遍 的各组标签时 的下确界也为 。因此，上面的结论对无界函数也成立。

定理 10 对 上的函数 ， 在 上是达布可积的的充要条件是对任意 ，存在实数 与 的一个划分 ，使得对 的任意超划分 与 的任意一组标签 ，都有 。
证
必要性：
假设 在 上是达布可积的，则存在 的一个划分 ，使得 。设 是 的任一超划分，则 $U(f,\mathcal P)\le U(f,\mathcal P_0),$L(f,\mathcal P)\ge L(f,\mathcal P_0)$，故 $U(f,\mathcal P)-L(f,\mathcal P)\le U(f,\mathcal P_0)-L(f,\mathcal P_0)<\epsilon$。由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上是达布可积的，$L(f,\mathcal P)\le\int_a^b f\le U(f,\mathcal P)$设 $\tau$ 为 $\mathcal P$ 的任意一组标签，则$L(f,\mathcal P)\le R(f,\mathcal P,\tau)\le U(f,\mathcal P)$$因此 与 均不小于 且不大于 ，故 。取 即可。
充分性：
假设任取 、 上的划分 （与 有关）的超划分 与 的标签 ，都有 。由 取遍 的各组标签时 下确界为 、上确界为 ，可知任取 与 的超划分 ，都有 。这等价于，任取 与 的超划分 ，都有 。显然 存在，故 在 上是达布可积的。
注 定理 10 给出了达布可积性的一种全新的判定，使我们离给出与达布积分等价却截然不同的另一种积分定义——黎曼积分——更近一步。我们还需要做两件事：一是证明定理 10 给出的判定条件中的 可以与 无关，二是将定理 10 中的不等式的成立范围由“与 有关的某个特定的划分的任意超划分”扩大到“任何足够密集的划分”。

称划分 的各划分区间的长度的最大值为 的网格，记作 。显然，一个划分的超划分的网格不大于这个划分本身的网格。

引理 11（细划分引理） 若 为 上的有界函数，则对任意 ，存在 ，使得对 的任何网格小于 的划分 ，有$\underline{\int_a^b}f-L(f,\mathcal P)<\epsilon,\,U(f,\mathcal P)-\overline{\int_a^b}f<\epsilon$证 任给 。由上、下积分的定义，存在 的一个划分 ，使得$0\le\underline{\int_a^b}f-L(f,\mathcal P_0)<\frac\epsilon2,\,0\le U(f,\mathcal P_0)-\overline{\int_a^b}f<\frac\epsilon2$设 ，又设 有 个划分区间。取 ，并设 为 的一个网格小于 的划分。令 ，由超划分引理知 $L(f,\mathcal P’)\ge L(f,\mathcal P_0),$U(f,\mathcal P')\le U(f,\mathcal P_0)$，故$\underline{\int_a^b}f-L(f,\mathcal P’)\le\underline{\int_a^b}f-L(f,\mathcal P_0)<\frac\epsilon2\U(f,\mathcal P’)-\overline{\int_a^b}f\le U(f,\mathcal P_0)-\overline{\int_a^b}f<\frac\epsilon2$设 $\mathcal P=\{x_0,\,x_1,\,\dots,\,x_n\},\,\mathcal P'_i=\mathcal P'∩[x_i,x_{i+1}]\,(0\le i<n)$。由 $\mathcal P'=\mathcal P∪\mathcal P_0$ 知 $\mathcal P'_i$ 为 $[x_i,x_{i+1}]$ 的一个划分，而 $\mathcal P$ 和 $\mathcal P'$ 均为 $[a,b]$ 的划分，故 $\mathcal P'=\mathcal P'_0+\mathcal P'_1+\dots+\mathcal P'_{n-1}$，于是$L(f,\mathcal P’)-L(f,\mathcal P)=\sum_{i=0}^{n-1}\left(L(f,\mathcal P’_i)-\left(\inf_{x\in[x_i,x_{i+1}]}f(x)\right)(x_{i+1}-x_i)\right)\\le\sum_{i=0}^{n-1}2M(x_{i+1}-x_i)<2nM\delta=\frac\epsilon2\U(f,\mathcal P)-U(f,\mathcal P’)=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\left(\sup_{x\in[x_i,x_{i+1}]}f(x)\right)(x_{i+1}-x_i)-U(f,\mathcal P’_i)\right)\\le\sum_{i=0}^{n-1}2M(x_{i+1}-x_i)<2nM\delta=\frac\epsilon2$故$\underline{\int_a^b}f-L(f,\mathcal P)=\left(\underline{\int_a^b}f-L(f,\mathcal P’)\right)+(L(f,\mathcal P’)-L(f,\mathcal P))<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon\U(f,\mathcal P)-\overline{\int_a^b}f=\left(U(f,\mathcal P’)-\overline{\int_a^b}f\right)+(U(f,\mathcal P)-U(f,\mathcal P’))<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon$$这就是要证的。

有了细划分引理，我们终于可以完成剩下的任务了。

设 为 上的函数。若存在实数 ，使得对任意 ，存在 ，使得对 的任何网格小于 的划分 与 的任意一组标签 ，都有 ，则称 在 上是黎曼可积的，并称 为 在 上的黎曼积分。显然黎曼积分是唯一的。

定理 12（达布积分与黎曼积分的等价性） 设 为 上的函数。
a) 下列命题等价：
(i) 在 上是黎曼可积的。
(ii) 在 上是达布可积的。
b) 在 a) 的等价条件成立时， 在 上的黎曼积分等于 在 上的达布积分 。
证
a)
(i)(ii)：
反证法。假设 在 上不是达布可积的。
(I) 在 上无界时：
设 为 的任一划分。由 在 上无界，知 取遍 的各组标签时 无界，从而对任意 ， 都不满足对 的任意一组标签 都有 。这里的 和 的任意性表明 在 上无法满足黎曼可积的条件，与 (i) 矛盾。
(II) 在 上有界时：
设 ，并设 为将 等分成 段的划分。由于 为 在 取遍 的各组标签时的上确界，存在 的一组标签 ， 使得 。同理，存在 的一组标签 ，使得 。又由细划分引理知则由夹逼准则有由 在 上不是达布可积的，知 ，故 。设 在 为奇数时为 ，在 为偶数时为 ，则数列 发散。但由 (i) 知 在 上是黎曼可积的，由黎曼可积的定义知数列 收敛，矛盾。 综上，假设不成立。 (ii)(i)： 任给 。由 在 上是达布可积的，知 ，于是由细划分引理知存在 ，使得对 的任何网格小于 的划分 ，有$\int_a^bf-L(f,\mathcal P)<\epsilon,\,U(f,\mathcal P)-\int_a^bf<\epsilon$而对这两个不等式中 的任意一组标签 ，有 ，于是 。因此 在 上是黎曼可积的。
b) 由 a) 的 (ii)(i) 证明的末尾可以看出， 在 上的黎曼积分等于 。

推论 13 黎曼积分满足性质 (I0)、(I1)、(I2)、(I3)。

推论 14 黎曼积分满足微积分基本定理。

我们终于大功告成。